RAZONES Y PROPORCIONES

El producto de terminos extremos de una proporcion geometrica es 36 y la suma de los terminos medios es 12 ¿cual es la diferencia de los terminos medios?

La proporción geométrica:

a/b = c/d

Los términos extremos son "a" y "d"  y los términos medios son "b" y "c"

El problema dice que:  a * d = 36   y que: b + c = 12

Si a x d = 36, entonces b x c también es igual a 36, porque se trata de una igualdad entre dos razones.  b x c = 36

Podemos despejar "c" :  c= 36/b

Y de la igualdad b + c = 12,  también podemos despejar "c"

 c= 12 - b

Tenemos dos expresiones iguales a "c", entonces podemos igualarlas entre sí:

 36/b = 12 - b

Pasamos b que está dividiendo, a multiplicar al otro lado:

 36 = 12b - b^2  

Pasamos 36 a restar, igualamos la expresión a cero y obtenemos una ecuación cuadrática:

 -b^2 + 12b -36= 0

Multiplicamos por menos uno, ambos lados de la igualdad y buscamos el valor de b, aplicando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas. Hacemos los reemplazos en la fórmula, operamos y tenemos:

Ahora sabemos el valor de "b"  que es 6

Reemplacemos en b x c = 36:   6 x c = 36, de donde c=36/6 = 6

Es decir los dos términos medios "b" y "c" valen lo mismo: 6

Entonces, su diferencia : 6 - 6 = 0

Si, la proporción aritmética es continua sus medios son iguales:

A+B+C+D = 36

A-D = 12

B=C

A - B = B - D

A+D = 2B  

Vamos a Sustituir

A+2B+D = 36

2B + 2B = 36

4B = 36

B = 36/4

B =9

Sustituir:

A+D =2(9)

A+D = 18                                                                                                                                                                                    A = 12+ D

12 +D+D = 36

2D = 24

D = 12                                                                                                                                                                                        A = 12+12                                                                                                                                                                                    A = 24

El menor extremo es  D=12 

Si la propoción aritmetica sus medios son iguales

a/b=c/d                                                                                                                                                                                         b²=a*c                                                                                                                                                                                           El producto de sus cuatro términos es 1296                                                                                                                            a*b*b*c=1296

b²*b²=1296

b⁴=1296

b=6

b²=a*c

6²=a*c                                                                                                                                                                                        a=36/c                                                                                                                                                                                            Si la suma de los extremos es 20

a + c=20

36/c + c=20

36 + c²=20c                                                                                                                                                                                c₁=2                                                                                                                                                                                    câ‚‚=18                                                                                                                                                                                          a₁=18

aâ‚‚=2                                                                                                                                                                        c²-20c+36=0El mayor de los términos de dicha proporción es 18

3. Media proporcional: En una proporción continua, se denomina medio proporcional a cada uno de los términos iguales. De dos cantidades A  y B es un valor x que cumple con la siguiente condición:

A/x = x/B

x²= AB

x = √AB

 La media proporcional de una progresión geométrica continua:

a/b=b/c = 4/9

4k/ b = b/9k

20/b=b/45

b es la  media proporcional  

9k + 4k = 65

13k=65

k=5

45*20=b²

900=b²

b= 30 La media proporcional de una progresión geométrica continua:

El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 50625

a *b * b * c =50625

a*c = b²

b²*b² = 50625

b⁴ =50625

b= 15

a/b=c/d

Si:

axd=36 y b+c=12

Como:

axd = cxb -> cxb=36 y

                    b+c=12

Los únicos dos números que cumplen con ambas soluciones son 6 y 6

entonces la diferencia de los terminos medios es 0  

Aqui mi Respuesta:

a/b = c/d

Y sabemos que a.d = b.c

Si a.d = 32

Entonces 2... b.c = 36

Y como segundo dato 1... b+c = 12

Por lo tanto tenemos un sistema de ecuacion sencilla (1 y 2)

El unico dato que concuerda es 6 tanto para b como para c. 

Hablamos entonces de una proporcion continua.

 

He aquí mi resolución. 
Psdata: "x" corresponde a la diferencia de los medios.

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